Speglingar i det abstrakta tänkandets verkligheter
En avhandling i logik visar att en nyckel till en djupare förståelse av de abstrakta verkligheterna ligger i hur de speglar varandra. – Precis som vi har en fysisk verklighet så har vi också en abstrakt verklighet som rymmer hela matematiken. Men egentligen finns det många sådana abstrakta verkligheter, och matematiska objekt såsom heltal beter sig annorlunda i olika verkligheter, säger Paul Kindvall Gorbow.
År 1931 publicerade Kurt Gödel en artikel som chockade det matematiska samfundet. Han visade att det finns klara och tydliga matematiska frågor som inte går att besvara. En viktig sådan fråga var: Går det att bevisa att 0=1 med hjälp av de logiska reglerna för addition och multiplikation av heltal?
Ledande matematiker hade tidigare antagit att denna fråga måste gå att besvara med ett entydigt NEJ, men Gödel visade att frågan helt enkelt inte går att besvara.
Det vore en katastrof för matematiken om det gick att bevisa att 0=1, eftersom det då skulle gå att bevisa vad som helst, och det skulle inte gå att skilja mellan sant och falskt. Sedan Gödels insikt har matematiker fått försonas med att aldrig säkert kunna veta om deras satser är sanna.
Abstrakta verkligheter
En konsekvens av Gödels insikt är att om det finns en abstrakt verklighet som rymmer hela matematiken, då måste det finnas många olika sådana verkligheter. Vad som är sant i en matematisk verklighet kan vara falskt i en annan. Paul Kindvall Gorbow har i sin avhandling studerat hur dessa olika matematiska verkligheter speglar varandra.
Att det finns speglingar mellan dem, speciellt när man begränsar sig till ändlig matematik, är känt sedan tidigare. Avhandlingen visar att speglingarna förekommer i mycket stor omfattning mellan de matematiska verkligheterna som helhet, med oändliga objekt inkluderade. Med dessa resultat som grund används sedan speglingarna för att besvara ett flertal frågor om dessa abstrakta verkligheter.
– Jag har länge varit fascinerad av förekomsten av dessa speglingar och blev förvånad när jag insåg hur användbara de är för att besvara frågor som inte ser ut att ha något med spegling att göra, säger Paul Kindvall Gorbow.
Dessa frågor är esoteriska och svåra att förklara, menar han. De matematiska metoder som utvecklats sedan Gödels genombrott på 30-talet är tekniskt mycket komplexa.
Avhandlingen Self-Similarity in the Foundations försvarades vid en disputation den 14 juni 2018.
Kontakt:
Paul Kindvall Gorbow, tel: 0727-294728, e-post: paul.gorbow@gu.se