Anslag till spektralteori, heltalsekvationer och komplex geometri
Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram delar i år ut 35 miljoner kronor för 16 anslag, varav tre till Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet. Simon Larson, David Witt Nyström och Simon L. Rydin Myerson får alla medel för att rekrytera forskare från utlandet till postdoktorala tjänster i Sverige.
Kvantitativa metoder inom semiklassisk spektralteori
Simon Larson, biträdande universitetslektor vid Avdelningen för analys och sannolikhetsteori, får anslag för ett projekt i skärningspunkten mellan spektralteori, geometri och matematisk fysik.
– Jag är mycket glad för möjligheten att rekrytera en postdoktor till detta projekt. De nya insikter och perspektiv som ytterligare en medlem i vår grupp kan föra med sig kommer sannolikt att öppna för spännande forskningsinriktningar. Jag tycker om att samarbeta och diskutera matematik med andra, så att ta in en postdoktor i projektet är något som jag ser väldigt mycket fram emot.
Spektralteori tillhör den klassiska analysen inom matematiken och utöver det rent matematiska intresset har den många tillämpningar inom fysik och teknik. Sambandet mellan geometri och spektralteori populariserades av den polsk-amerikanske matematikern Mark Kac som år 1966 ställde frågan: går det att höra formen på ett trummembran? Svaret kom nästan 30 år senare: nej, det går inte att höra formen på en trumma, samma ljud kan komma från olika trummembran. Men det går att avgöra vissa egenskaper hos membranen, som dess area och omkrets.
Matematiskt formuleras frågan i termer av en operators egenvärden (de frekvenser som membranen svänger med) för att utifrån egenvärdena återskapa den underliggande geometrin. I projektet är frågeställningen omvänd och handlar om att förstå egenvärdena utifrån kunskap om operatorn, och då speciellt kvantmekanikens Schrödingeroperatorer där egenvärden motsvarar energinivåer hos partiklar eller system av partiklar.
Av speciellt intresse här är frågan om hur Schrödingeroperatorernas egenvärden fördelar sig asymptotiskt mot oändligheten. Intresset motiveras av att det är just i denna så kallade semiklassiska gräns mot oändligheten som kvantmekanik övergår i den klassiska mekaniken. Det föreslagna projektet syftar till att utveckla nya verktyg för att uppskatta noggrannheten hos semiklassiska approximationer under minimala antaganden om de underliggande operatorerna.
En stor utmaning i komplex geometri
David Witt Nyström, professor på Avdelningen för algebra och geometri, får anslag för ett projekt med syfte att bevisa lösbarhet för den icke-arkimediska Monge-Ampère-ekvationen.
– Med anslaget hoppas jag kunna anställa Pietro Mesquita Piccione som för tillfället är doktorand vid Université Sorbonne och som förväntas disputera till sommaren. Pietro är mycket duktig och besitter en expertis inom icke-arkimedisk geometri som är väsentlig för projektet. Han skulle bidra positivt till vår institution såväl socialt som forskningsmässigt.
En central frågeställning inom geometri är att förstå när ett geometriskt objekt kan ges en optimal form. Det dröjde fram till år 1907 då Paul Koebe och Henri Poincaré nästan samtidigt bevisade att tvådimensionella ytor alltid kan deformeras till en form med konstant krökning. Utvecklingen fram till beviset för denna så kallade likformighetssats skedde under hela 1800-talet parallellt med framväxten av den moderna algebraiska geometrin, födelsen av den komplexa analysen och topologin. Ännu fler nya verktyg krävdes för att år 2003 föra i bevis en tredimensionell motsvarighet till likformighetssatsen – Thurstons geometriseringsförmodan.
Även inom den komplexa geometrin, ämnet för det aktuella projektet, ställs frågan om när objekten kan ges en optimal form. Här definieras de geometriska objekten med hjälp av komplexa tal och frågan om likformigheten, känd som Yau-Tian-Donaldsons förmodan, är ett av de största olösta problemen inom den komplexa geometrin.
Ett lovande sätt att närma sig lösningen är att använda metoder från icke-arkimedisk geometri där de välbekanta reella och komplexa talen bytts ut mot abstrakta objekt, så kallade icke-arkimediska kroppar. Metoderna har visat sig lyckosamma för ett viktigt specialfall, men mycket återstår att göra, däribland att visa att den icke-arkimediska Monge-Ampère-ekvationen är lösbar. Projektets syfte är att bevisa ekvationens lösbarhet, och därmed komma ett steg närmare beviset för Yau-Tian-Donaldsons förmodan.
Ekvationer för heltal i nytt ljus
Simon L. Rydin Myerson, forskarassistent vid Avdelningen för algebra och geometri från den 1 maj, får anslag till ett projekt om lösningar till system av diofantiska ekvationer.
Kan du föreställa dig att musikalisk harmoni och "y² = x³" är kopplade? Detta börjar med det berömda arbetet av Srinivasa Ramanujan om cirkelmetoden på 1910-talet. Det går till så här: föreställ dig alla möjliga värden som kan dyka upp på varje sida av en ekvation som tonhöjder av musikaliska noter som alla spelas samtidigt. Om vi upptäcker formen på den resulterande ljudvågen kan vi dra slutsatser om hur vanliga lösningarna på ekvationen är.
Frågor om heltalslösningar till polynomekvationer ställdes redan under antiken av den grekiske matematikern Diofantos från Alexandria. Diofantiska ekvationer har sedan dess sysselsatt många av de största matematikerna, såsom Fermat, Euler och Gauss, och har varit källan till helt nya fält inom matematiken. År 1970 gjorde Yuri Manin en djupgående förmodan om hur vanliga lösningarna borde vara för algebraiska ekvationer med många variabler. Många forskare arbetar för att förfina och testa hans teori.
Syftet med projektet är att nå nya resultat för antalet lösningar till system av diofantiska ekvationer. För detta kommer cirkelmetoden att användas. Metoden bygger på uppskattningar av specifika integraler som ekvationerna ger upphov till. För system av diofantiska ekvationer av grad högre än 2 ska en ny idé från 1930-talets matematik testas. Detta kommer även att ge nya insikter om diofantisk approximation, som beskriver hur väl irrationella tal (såsom roten ur 2) kan approximeras med rationella tal (bråktal som 3/2 eller 7/5).
Matematikprogrammet är en långsiktig satsning av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse där Kungl. Vetenskapsakademien utvärderar kandidaterna. Under åren 2014–2029 anslås 650 miljoner kronor till svensk matematisk forskning. Varje år rekryteras utländska postdoktorer och gästprofessorer till Sverige. Samtidigt får unga, svenska matematiker en möjlighet att resa ut i världen på en postdoktoral tjänst.