Komplex dynamik och exotisk geometri får anslag från matematikprogram
Institutionen för matematiska vetenskaper, Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet, får fyra av årets 18 anslag som delas ut inom Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram. Eusebio Gardella, Christian Johansson och Klas Modin får medel för att rekrytera en forskare från utlandet till en postdoktoral tjänst i Sverige, och Jiacheng Xia får en postdoktoral tjänst vid universitet i utlandet.
Att skilja mellan enkel och komplex dynamik
Eusebio Gardella, universitetslektor vid Avdelningen för analys och sannolikhetsteori, får anslag för ett projekt som handlar om C*-algebror som fås från vissa typer av dynamiska system. ”Arbetsgruppen inom C*-algebror på vår institution är mycket aktiv och har vuxit kraftigt under de senaste tre åren. Anslaget från KAW låter mig anställa ytterligare en postdoktor, vilket kommer att göra vår arbetsgrupp till en av de största internationellt. Det är ett utmärkt tillfälle för matematikinstitutionen på GU/Chalmers att få synlighet och attrahera framtida talanger. Den föreslagna kandidaten, Julian Kranz, var gäst här under fyra månader förra året, och kommer utan tvekan att knyta an till forskningen för fler medlemmar i gruppen.”
Många matematiska verktyg har utvecklats för att beskriva förändring. Ofta talar man om dynamiska system som ger en matematisk beskrivning av hur något förändras eller rör sig över tid. Området har sin bakgrund i Newtonsk mekanik, till exempel för att beskriva planeternas rörelse. Bland atomer och partiklar råder annorlunda fysiklagar än i den Newtonska mekaniken som styr himlakropparna, till exempel går det inte att samtidigt ange exakta värden för position och hastighet hos en partikel. Denna och andra lagar som råder i mikrovärlden beskrivs av fysikens kvantmekanik. Kvantmekaniken har en annan matematisk formulering än den klassiska mekaniken. Operatorer ersätter klassiska storheter som läge och hastighet.
Ett matematiskt område som ger kvantmekaniken ett passande teoretiskt ramverk är operatoralgebror, och fram för allt typen som kallas C*-algebror. Även om det från början handlade om atomer och partiklar så har teorin för C*-algebror utvecklats till att numera också handla om rent teoretiska och mycket abstrakta fenomen. Ett problem som är av central betydelse i teorin för C*-algebror är att avgöra när en C*-algebra som fås från ett dynamiskt system tillhör en av de typer för vilka det nyligen har skett stora framsteg. Ett av huvudmålen med projektet är att förstå denna nya klassificering av C*-algebror som kommer från dynamiska system. Vad måste vi veta om det dynamiska systemet för att kunna klassificera det?
Exotisk geometri ska belysa en 100 år gammal förmodan
Christian Johansson, universitetslektor vid Avdelningen för algebra och geometri, får anslag för ett projekt inom Langlandsprogrammet. ”Jag ser väldigt mycket fram emot att börja jobba på det här projektet, och det skall bli extra kul att göra det i samarbete med en ny postdoktor. Jag tror det kommer ge projektet en stor boost och jag trivs mycket bra med att samarbeta, det tillför alltid nya perspektiv.”
I januari 1967 skrev den då drygt trettioårige Robert Langlands ett brev till en matematikerkollega, André Weil, där han skisserade ett ambitiöst projekt i vilket han kopplade samman två helt olika matematiska områden – talteori och geometri. Han formulerade där ett stort antal förmodanden, hypoteser som än idag inte bevisats, även om de flesta experter tror att de kan vara sanna.
Christians plan är att studera L-funktioner, som utgör en viktig ingrediens i Langlandsprogrammet. L-funktionerna ger bland annat information om diofantiska ekvationer där man söker heltalslösningar till polynom med heltaliga koefficienter. Trots att de diofantiska ekvationerna är kända sedan antiken är de notoriskt svåra, om än inte alltid omöjliga, att lösa. Det går inte heller att på förhand bestämma huruvida en given ekvation alls har en lösning, vilket bevisades 1970 av den ryske matematikern Yuri Matiyasevich. Ett sätt att med hjälp av L-funktioner närma sig de diofantiska ekvationerna är att utforska den 100 år gamla men fortfarande inte helt lösta Artins förmodan. Den behandlar grundläggande egenskaper hos L-funktioner och var en viktig inspiration till Langlands idéer. Projektets syfte är att med hjälp av exotisk geometri göra framsteg i utforskningen av Artins förmodan i synnerhet och Langlandsprogrammet i allmänhet.
Anslag till forskare på institutionen anställda av Chalmers
Klas Modin, biträdande professor vid Avdelningen för tillämpad matematik och statistik, får anslag för ett projekt med syfte att nå en djupare förståelse för de grundläggande mekanismerna bakom storskaliga atmosfäriska och oceaniska flödesmönster som påverkar det dagliga livet på jorden.
Läs mer om Klas forskning på Chalmers webb >>
Jiacheng Xia, som disputerade i matematik vid Chalmers 2021, kommer att få en postdoktoral tjänst vid University of Wisconsin-Madison, USA. En central fråga i projektet är att studera geometrisk stelhet hos vissa objekt med hög symmetri, vilket är av intresse inom talteorin.
Matematikprogrammet är en långsiktig satsning av Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse. Under åren 2014–2029 är tanken att 650 miljoner kronor ska anslås till svensk matematisk forskning. Varje år rekryteras både yngre och mer erfarna, seniora matematiker, till Sverige. Samtidigt får unga, svenska matematiker en möjlighet att resa ut i världen på en postdoktoral tjänst.