Avancerade ämnen i sannolikhetsteori

Institutionen för matematiska vetenskaper

Kursen kan ingå i följande program: 1) Matematiska vetenskaper, masterprogram (N2MAT) och 2) Matematikprogrammet (N1MAT).

Huvudområde: Matematisk statistik.

Fördjupning: A1F, Avancerad nivå, har kurs/er på avancerad nivå som förkunskapskrav.

För tillträde till kursen krävs kunskaper motsvarande MMA110 Integrationsteori och MSG110 Sannolikhetsteori.

Preliminärt innehåll

• Existens av Brownsk rörelse.

• Några av dess realiseringsegenskaper såsom det faktum att dessa nästan säkert inte är deriverbara någonstans.

• Definition av Hausdorff-dimension och kapacitär dimension.

• Strukturen för mängden av nollställen hos endimensionell Brownsk rörelse (den är en perfekt mängd med Hausdorff-dimension 1/2).

• Den itererade logaritmlagen.

• Arc-sinus-lagar.

• Den exakta träfftidsfördelningen.

• Hausdorff-dimensionen för Brownsk rörelse i åtminstone 2 dimensioner är två och, mer allmänt, egenskapen "dimensionsfördubbling".

• Lösningen av det klassiska Dirichlet-problemet i termer av Brownsk rörelse.

• Förekomsten av "dubbla punkter" i 3 dimensioner och att de inte existerar i 5 dimensioner.

• Det kritiska 4-dimensionella fallet kommer att beskrivas och kanske bevisas.

• Beskrivning av första träfftidsprocessen i termer av stokastiska Poisson-mått.

Lärandemål 2025
Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• Bevisa existens av Brownsk rörelse.

• Ange, förstå och bevisa vissa grundläggande egenskaper hos Brownsk rörelse.

• Härleda åtminstone en av sinuslagarna och träfftidsfördelningen för Brownsk rörelse.

• Förstå, ange och bevisa vissa grundläggande egenskaper hos Hausdorff-dimensionen och Minkowski-dimensionen.

• Bevisa att Brownsk rörelse i 2 eller fler dimensioner har Hausdorff-dimension 2.

• Förstå sambandet mellan Brownsk rörelse och det klassiska Dirichletproblemet.

• Bevisa rekurrsens och transiens för Brownska rörelser samt några av deras självkorsningsegenskaper.

Föreläsningar

Undervisningsspråk: engelska

Inlämningsuppgifter och muntlig tentamen.

Om student som underkänts två gånger på samma examinerande moment önskar byte av examinator inför nästa examinationstillfälle, bör sådan begäran inlämnas skriftligt till institutionen och ska bifallas om det inte finns särskilda skäl däremot (HF 6 kap 22§).

Om student fått rekommendation från Göteborgs universitet om särskilt pedagogiskt stöd kan examinator, i det fall det är förenligt med kursens mål och förutsatt att inte orimliga resurser krävs, besluta att ge studenten en anpassad examination eller alternativ examinationsform.

I det fall en kurs har upphört eller genomgått större förändringar ska student garanteras minst tre examinationstillfällen (inklusive ordinarie examinationstillfälle) under en tid av minst ett år, dock som längst två år efter det att kursen upphört/förändrats. Vad avser praktik och verksamhetsförlagd utbildning gäller motsvarande, men med begränsning till endast ett ytterligare examinationstillfälle.

På kursen ges något av betygen Godkänd (G) och Underkänd (U).

Kursutvärderingen sker tillsammans med studenterna i slutet av kursen och följs av en anonym enkät.

Resultatet och eventuella förändringar i kursens upplägg ska förmedlas både till de studenter som genomförde värderingen och till de studenter som ska påbörja kursen.